la relación entre el arte y las
matemáticas se conoce desde hace miles
de años pero de entre todas las
disciplinas la música es la única que
tiene unas raíces puramente matemáticas
ya sabes las notas musicales se han ido 
determinando a lo largo de la historia
buscando agradar al oído humano mediante
relaciones numéricas no es casualidad
que sólo tengamos siete notas musicales
y que añadamos cinco más para completar
la escala o que se agrupan en siete
blancas y cinco negras en lugar de yo que se
seis y seis o que las negras estén
separadas en grupos de dos y tres nada
se ha dejado al azar pero para entender
bien la música actual tenemos que
emprender un viaje a través del
desarrollo matemático y físico del
sonido pues venga al león
[Música]
una onda de sonido puro se representa
mediante una función sinusoidal aquí
sólo hay dos parámetros que podemos
hacer variar la amplitud de la onda que
cambia el volumen del sonido y la
frecuencia de la onda que cambia el tono
del sonido de valores graves agudos sin
embargo esto no encaja mucho con la vida
real porque al tocar una guitarra no
suena un sonido puro algo más debe estar
pasando en la cuerda y los físicos lo
saben
resulta que una cuerda tensa fija por
los extremos no puede vibrar libremente
los extremos por ejemplo siempre están
quietos y esto hace que la cuerda solo
pueda vibrar de unas maneras
determinadas conocidas como armónicos y
hay un porrón el primero se denomina
armónico fundamental y es muy intuitivo
la cuerda moviéndose para arriba y para
abajo sin misterio el segundo es un poco
más tricky tiene dos crestas subiendo y
bajando en el tercero tiene tres y así
sucesivamente oye tú mismo puedes hacer
vibrar los armónicos de una cuerda en
casa y que es algo que está muy fino
para impresionar las visitas pues bien
la propiedad matemática más interesante
que tienen los armónicos es que si el
primero vibra a una cierta frecuencia el
segundo vibra el doble de frecuencia el
tercero al triple y así
sucesivamente volviendo a la guitarra
cuando tocamos una cuerda estamos
haciendo vibrar todos sus armónicos a la
vez pero cada uno con una amplitud
distinta es decir suenan todos los
armónicos cada uno a un volumen y cuando
la mezcla llega al oído nos suena como
una guitarra mola
de hecho si cogemos una onda de sonido
simple y estudiamos su composición pues
sí en efecto más simple que el mecanismo
de una escoba pero si cogemos un sonido
complejo como el de un violín
comprobamos que está formado por muchos
sonidos simples cada uno producido por
un armónico vibrando resumen de todo
esto que combinan dos sonidos simples
podemos generar sonidos complejos y la
combinación es muy particular lo que
hace que un instrumento suene como lo
hace es el volumen de sus armónicos si
cambiamos convenientemente el volumen de
estos sonidos simples podemos hacer que
una flauta acabe sonando como un violín
al final los armónicos tienen codificado
el timbre de cada instrumento son su
carnet de identidad
y como resulta que la física de las
vibraciones de una cuerda es
prácticamente la misma que la de las
ondas de aire en un tubo los
instrumentos de cuerda y de viento
generan armónicos muy parecidos y notas
muy parecidas
es más en física casi todo lo que vibra
se le puede asociar algún tipo de
armónico desde mecánica cuántica a
caracolas
vale sí muy bien como aprovechamos todo
este rollo para generar notas musicales
pues ya en su día los griegos observaron
que al reducir el tamaño de una cuerda a
la mitad el sonido resultante encajaba
muy bien con la nota original escucha
al observar los armónicos enseguida
entendemos porque fíjate las dos notas
tienen muchos armónicos en común en
realidad estamos escuchando los mismos
sonidos simples en las dos situaciones
no hay sonidos desconocidos en la nueva
nota y esta teoría sonora también
funciona del revés si dos notas no
tienen armónicos en común tendrán
sonidos disonantes y aprovechando que
tenemos los armónicos a la vista una
punto importante fíjate que dividir la
longitud de la cuerda por dos es lo
mismo que multiplicar la frecuencia del
sonido por dos las notas que se crean
con este método se denominan octavas y
son la pieza clave de la teoría musical
podemos crear todas las octavas que
queramos al multiplicar y dividir la
longitud de una cuerda por dos o
haciendo lo mismo con la frecuencia
según el enfoque de los armónicos la
única pega es que las octavas se unan
tan bien que no aportan riqueza musical
es decir son sonidos tan parecidos entre
sí que se consideran la misma nota pero
en distintas octavas necesitamos otra
manera más original de generar notas
espera y si partimos la cuerda con otra
relación numérica sencilla como dos
tercios son enviar las notas resultantes
[Música]
suena bien echando un vistazo a los
armónicos vemos que ahora hay muchos
sonidos que son comunes mientras que
otros son nuevos para el oído pero eso
suena bien pero papá no también como una
octava y fíjate que al multiplicar la
longitud de la cuerda por dos tercios la
frecuencia se divide por dos tercios las
notas generadas de esta manera se
denominan quintas y como antes podemos
generar todas las quintas que queramos
multiplicando y dividiendo la longitud
de una cuerda por dos tercios o haciendo
lo mismo con la frecuencia
pues ya está todo las octavas y las
quintas generan todas las notas de la
música actual notas que le gustan al
oído para crearlas solo hay que coger
una cuerda y hacer quintas y octavas y
repetir el proceso muchas veces nosotros
tomaremos el enfoque moderno fijándonos
en las frecuencias pero este proceso se
puede hacer infinitamente largo puedes
generar infinitas notas cuando paramos
de crear más pues mira es cuestión de
organizarse te pongo un ejemplo si
tenemos una frecuencia y buscamos sus
octavas obtendremos la misma nota nada
nuevo pero si creamos una quinta
obtenemos una nueva nota vale después
podemos hacer sus octavas pero esto no
nos va a crear notas diferentes para
crear un nuevo sonido hacemos una quinta
más y podemos buscar sus octavas pero
esto no trae novedad al final fíjate que
obtenemos un patrón que se va repitiendo
por todo el espectro de frecuencias para
simplificar podemos estudiar sólo uno de
estos patrones colocándolo en forma de
círculo así todas las notas con el mismo
nombre quedan en la misma posición
[Música]
podemos olvidarnos de las octavas que
sería como dar una vuelta al círculo y
centrarnos en las quintas que son las
que de verdad generan notas con todo
esto ya podemos empezar a crear notas de
manera sencilla venga manos a la obra
cogemos una frecuencia y hacemos una
quinta y otra y otra más cuando paramos
de crear notas cuando la escala que
obtengamos sea simétrica visualmente es
muy sencillo si al unir las notas por
orden obtenemos una estrella regular la
escala es simétrica y sirve para hacer
música sino osman por ejemplo una escala
de cuatro notas no es simétrica no forma
una estrella regular pero una de cinco
notas sí
a ver si las reconoces
pues si es la famosa escala pentatónica
muchas civilizaciones antiguas basaban
su música en estas cinco notas por eso
la escala nos da sensación como de
música asiática tradicional verdad
la explicación matemática de las escalas
simétricas es elaborada y aburrida pero
se resume en buscar escalas que entre
una nota y su quinta tengan siempre el
mismo número de notas lo que da
estabilidad a la música y visualmente es
súper molón seguimos generando notas
haciendo más quintas una escala con seis
notas no es simétrica no funciona para
la música y uno de siete redoble de
tambores si escucha cómo suena
familiar verdad claro es la escala más
famoso de la actualidad nuestras siete
notas son simplemente las primeras
quintas de una cuerda
pero porque hemos empezado a tocarla
justo por aquí no es un poco forzado
bueno es algo cultural empezar la escala
por aquí hace que estés en una escala
mayor las melodías que produce esta
combinación de notas son luminosas
brillantes abiertas
pero hay más la escala menor empieza a
tocar por otro sitio el círculo tiene
una distancia entre notas distintas y
con ella las melodías son más cerradas
más oscuras
hay más escalas por supuesto la dórica
por ejemplo hace que todo suene como una
fiesta hobbit
distinto orden distintas sensaciones
pero las mismas siete notas elegir una
escala u otra depende de lo que te pide
el cuerpo es algo puramente cultural no
obstante Jaime Altozano desarrolla este
tema por aquí le echas un ojo y
apañado
las siete notas que hemos generado son
las que aprendemos de pequeños que se
corresponden con las teclas blancas del
piano si seguimos generando notas la
siguiente escalas simétricas la que
tiene doce sonidos la famosa escala
cromática además fíjate que las cinco
notas nuevas han caído intercaladas
entre las notas blancas y esta es la
posición que mantienen al construir el
piano negras y blancas no es un diseño
al azar la escala cromática completa la
tonalidad occidental con ellas se
terminan de aportar los últimos matices
a la melodía y armonía de la música no
hace falta ninguna nota más para
escribir cualquier composición clásica
pero es que si te paras a pensar tiene
un montón de propiedades interesantes
porque mira la escala parece que divide
el círculo en doce partes iguales y solo
parece pero desde hace unos siglos los
músicos han movido la posición original
de las notas para que la división del
círculo sea perfecta toda la diferencia
es tan pequeña que el oído casi no
detecta que ha habido un cambio y hay
dos ventajas en utilizar este sistema
para empezar si recorrerá el círculo
entero era cómo multiplicar la
frecuencia por dos para recorrer una
doceava parte habrá que multiplicar la
frecuencia por raíz duodécima de 2
es decir que si fijamos la frecuencia de
una nota normalmente la central del
piano a 440 hercios avanzará la
siguiente nota es multiplicar por raíz
duodécima de dos y retroceder a la
anterior dividir esto nos da una fórmula
sencilla para calcular la frecuencia de
todas las notas habidas y por haber
además puesto que ahora el círculo es
totalmente simétrico aunque cambios de
tono una composición seguirá sonando
afinada lo que es un lujazo si nuestra
simetría perfecta tendrías que afinar
cada instrumento antes de cada pieza o
tener instrumentos distintos para cada
canción
por eso la escala cromática de igual
temperamento es el éxito rotundo de la
música occidental
[Música]
en fin todo este pisto musical no me
alimenta o yo lo explica la teoría de
escalas bien formadas una rama
matemática que apareció en la década de
los 80 quiero decir con esto que la
teoría no muestra el desarrollo
histórico de la música solo generaliza
conceptos musicales que utilizaban las
civilizaciones antiguas y tiene éxito si
sigues haciendo quintas en un círculo
vuelven a aparecer escalas simétricas a
las 17 y 53 notas mira qué casualidad
las escalas que utilizaban los árabes y
los chinos de la antigüedad aún así hay
otras maneras de construir las doce
notas actuales sin usar la teoría de
escalas simétricas parece como que todos
los caminos llevan a las doce notas pero
nadie te obliga a seguir un camino u
otro de hecho nadie te obliga a utilizar
las doce notas para hacer música se
puede romper lo convencional y explorar
la plasticidad del sonido innovar desde
la base a fin de cuentas la música es un
arte y el arte se crea tanto siguiendo
reglas como rompiendolas
[Música]